PROYECTO IDENTIDAD : ¿Qué es la identidad para la matemática?

En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que se escriben matemáticamente diferente son de hecho el mismo objeto. En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas. Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

EJEMPLOS

En el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

$e^{i \pi} + 1 = 0\;$

relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta identidad no relaciona variables sino únicamente constantes matemáticas.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

es una identidad, cierta para cualquier valor del número real (e incluso complejo) $x$ .

Ideas notables

Artículo principal: Productos notables.

Algunas identidades algebraicas se denominan «notables» y facilitan los cálculos o la factorización de expresiones polinómicas.

Por ejemplo el producto notable $(a + b)^2 = a^2 +2ab + b^2$ , que es cierto sean cuales sean los elementos $a$ y $b$ de un anillo conmutativo.

Identidades aritméticas

Algunas de las identidades aritméticas más notables son la suma de términos de una progresión aritmética, entre la que se encuentra la suma de los n primeros números naturales (desde el 1 hasta n),

$1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

las fórmulas de Faulhaber para la suma de las potencias de los primeros n números naturales o la suma de los cubos de tres números naturales consecutivos, cuyo valor es múltiplo de 9

$n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = 9k \,$

PROYECTO IDENTIDAD

¿Qué es la identidad para la matemática?

No hay comentarios:

Publicar un comentario